Question

3．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，則y的最大值是$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，化為yx²+（y²-1）x+4y=0，由于關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)根，可知△≥0．又x₁x₂=4＞0，可知x₁與x₂同號，必有x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$，解得0＜y＜1．再利用△≥0．解出即可得到最大值．

解答 解：正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，
化為yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)根，∴△≥0．
又x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0，∴x₁與x₂同號，
∴x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0．∴（y²-1）²-16y²≥0，
∴（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，
解得0＜y≤$\sqrt{5}$-2．
∴實(shí)數(shù)y的最大值為$\sqrt{5}$-2．
故答案為：$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程有正實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．