Question

12．若拋物線y=2x²上兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+$\frac{3}{2}$對(duì)稱，則x₁•x₂=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -3

Answer 1

分析 先利用條件得出A、B兩點(diǎn)連線的斜率k，再利用A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線y=x+$\frac{3}{2}$，與已知條件聯(lián)立求出x₁•x₂的值．

解答 解：由條件得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)連線的斜率k=-1，
而y₂-y₁=2（x₂²-x₁²）  ①，得x₂+x₁=-$\frac{1}{2}$ ②，且（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2}$）在直線y=x+$\frac{3}{2}$上，
即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{2}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$+$\frac{3}{2}$，即y₂+y₁=x₂+x₁+3  ③
又因?yàn)锳（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)在拋物線y=2x²上，
所以有2（x₂²+x₁²）=x₂+x₁+3，即2[（x₂+x₁）²-2x₂x₁]=x₂+x₁+3  ④，
把①②代入④整理解得x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)直線與拋物線位置關(guān)系以及點(diǎn)與直線位置的綜合考查．當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱時(shí)，有兩條結(jié)論，一是兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上；二是兩點(diǎn)的連線與已知直線垂直．