Question

17．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一點(diǎn)，且滿足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由B₁D⊥平面ACE得AE⊥B₁D，由A₁B₁⊥平面AA₁D₁D得AE⊥A₁B₁，于是AE⊥平面A₁B₁D，得出A₁D⊥AE．
（2）根據(jù)A₁D⊥AE得△ADE∽△DD₁A₁，列出比例式求出DE，代入體積公式求出棱錐的體積．

解答 證明：（1）∵B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴AE⊥B₁D，
∵A₁B₁⊥平面AA₁D₁D，AE?平面AA₁D₁D，
∴AE⊥A₁B₁，∵A₁B₁?平面A₁B₁D，B₁D?平面A₁B₁D，A₁B₁∩B₁D=B₁，
∴AE⊥平面A₁B₁D，∵A₁D?平面A₁B₁D，
∴A₁D⊥AE．
（2）∵A₁D⊥AE，∴△ADE∽△DD₁A₁，∴$\frac{DE}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{AD}{D{D}_{1}}$，∴DE=$\frac{1}{2}$．
∴三棱錐A-CDE的V=$\frac{1}{3}$S_△CDE•AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．