Question

8．已知四面體各面都是邊長(zhǎng)為13，14，15的全等三角形．
（1）求此三棱錐的體積；
（2）求頂點(diǎn)D到底面的距離．

Answer 1

分析 （1）四面體為長(zhǎng)方體切去4個(gè)相等的三棱錐得到的，長(zhǎng)方體的對(duì)角線分別是13，14，15，根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高；
（2）根據(jù)棱錐的體積列出方程解出棱錐的高．

解答 解：（1）∵四面體各面都是邊長(zhǎng)為13，14，15的全等三角形，
∴該四面體可看做對(duì)角線長(zhǎng)分別為13，14，15的長(zhǎng)方體切去4個(gè)相等的三棱錐得到的．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別是a，b，c，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=1{3}^{2}}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=1{4}^{2}}\\{^{2}+{c}^{2}=1{5}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{70}}\\{b=3\sqrt{11}}\\{c=\sqrt{126}}\end{array}\right.$．
∴V=abc-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc×4$=$\frac{1}{3}abc$=42$\sqrt{55}$．
（2）cos∠BAC=$\frac{1{3}^{2}+1{4}^{2}-1{5}^{2}}{2×13×14}$=$\frac{5}{13}$，∴sin∠BAC=$\frac{12}{13}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×13×14×\frac{12}{13}$=84．設(shè)D到底面ABC的距離為h，則$\frac{1}{3}×84h$=42$\sqrt{55}$．解得h=$\frac{3\sqrt{55}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的體積，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．