Question

3．P，Q是拋物線C：y=x²上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．直線l₁，l₂分別是C在點(diǎn)P，點(diǎn)Q處的切線，l₁∩l₂=M，直線PQ恒過定點(diǎn)（0，$\frac{1}{4}$），求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，得出切線的方程，從而求出M的縱坐標(biāo)，利用直線PQ經(jīng)過一定點(diǎn)，即可求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（x₁，x₁²），Q（x₂，x₂²），
又y'=2x，則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²①
同理，l₂方程為y=2x₂x-x₂²②
由①②解得x_M=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），y_M=x₁x₂，
PQ方程為y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
∵直線PQ恒過定點(diǎn)（0，$\frac{1}{4}$），∴x₁x₂=-$\frac{1}{4}$
∴點(diǎn)M的軌跡方程是y=-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的綜合，考查了切線的求法，恒過定點(diǎn)的問題等，考查了推理判斷的能力，屬于中檔題．