Question

13．已知曲線C的方程為x²+ay²=1（a∈R）．
（1）當a=-$\frac{1}{3}$時，是否存在以M（1，1）為中點的弦，若存在，求出弦所在直線的方程；若不得在，請說明理由；
（2）討論曲線C所表示的軌跡形狀；
（3）若a≠-1時，直線y=x-1與曲線C相交于兩點M，N，且|MN|=$\sqrt{2}$，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在，設(shè)出直線與雙曲線的兩個交點，代入雙曲線方程后利用點差法求斜率，從而得到假設(shè)不正確．
（2）對a討論，即可得出曲線C所表示的軌跡形狀；
（3）直線y=x-1與曲線C聯(lián)立，利用弦長公式，求出a，即可求曲線C的方程．

解答 解：（1）當a=-$\frac{1}{3}$時，曲線C的方程為x²-$\frac{1}{3}$y²=1，
假設(shè)以M點為中點的弦AB存在，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當過M點的直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意．
當過M點的直線的斜率存在時，設(shè)斜率為k．
A，B代入，兩式相減得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
所以過點Q的直線的斜率為k=3，
所以直線的方程為3x-y-2=0，與雙曲線聯(lián)立可得6x²-12x+7=0
△＜0，沒有公共點．
所以所求的直線不存在；
（2）a＜0，表示雙曲線；
a=0，x=±1，表示兩條直線；
0＜a＜1，表示焦點在y軸上的橢圓；
a=1，表示以原點為圓心，1為半徑的圓；
a＞1，表示焦點在x軸上的橢圓；
（3）直線y=x-1與曲線C聯(lián)立，可得（1+a）x²-2ax+a-1=0，
∵|MN|=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2a}{1+a}）^{2}-4•\frac{a-1}{1+a}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1或-3，
∴曲線C的方程為x²+y²=1或x²-3y²=1．

點評 本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)，訓練了利用點差法求中點弦所在直線的斜率，屬中檔題．