Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-（2m+6）x+m+4．
（Ⅰ）若對于任意m∈[-1，1]，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若對于任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得g（m）=（1-2x）m+x²-6x+4＞0在[-1，1]上恒成立，即有g(shù)（-1）＞0，且g（1）＞0，解不等式可得x的范圍；
（Ⅱ）由題意可得f_min（x）≥0．又函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為x=m+3，討論區(qū)間[-1，1]與對稱軸的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，求得最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）若對于任意m∈[-1，1]，f（x）＞0恒成立，
等價(jià)于g（m）=（1-2x）m+x²-6x+4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）=-1+2x+{x^2}-6x+4={x^2}-4x+3＞0}\\{g（1）=1-2x+{x^2}-6x+4={x^2}-8x+5＞0}\end{array}}\right.$，
可得  $x＜4-\sqrt{11}$或$x＞4+\sqrt{11}$，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍$\left\{{x\left|{x＜4-\sqrt{11}}\right.或x＞4+\sqrt{11}}\right\}$．
（Ⅱ）由于對任意x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，故f_min（x）≥0．
又函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為x=m+3，
①當(dāng)m+3≤-1，即m≤-4時(shí)，f_min（x）=f（-1）=1+2m+6+m+4≥0，
解得$m≥-\frac{11}{3}$，此時(shí)求得m無解；
②當(dāng)-1＜m+3＜1，即-4＜m＜-2時(shí)，${f_{min}}（x）=f（m+3）=-{m^2}-5m-5≥0$，
解得$\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}≤m≤\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}$，此時(shí)$-4＜m≤\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}$；
③當(dāng)m+3≥1，即m≥-2時(shí)，f_min（x）=f（1）=1-2m-6+m+4≥0，
解得m≤-1，此時(shí)-2≤m≤-1，
綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|-4＜m≤-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意主元的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．