14.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=$\frac{1}{3}$,公比為q>0,S1+a1,S3+$\frac{7}{2}$a3,S2+a2成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)設(shè)bn=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}}$,cn=bn(bn+1-bn+2),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

分析 (I)由S1+a1,S3+$\frac{7}{2}$a3,S2+a2成等差數(shù)列,可得2(S3+$\frac{7}{2}$a3)=S1+a1+S2+a2,化簡整理可得:9a3=a1,再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(II)bn=$\frac{1}{n}$,cn=$\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$=$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$-$\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 解:(I)∵S1+a1,S3+$\frac{7}{2}$a3,S2+a2成等差數(shù)列,
∴2(S3+$\frac{7}{2}$a3)=S1+a1+S2+a2,∴$2({a}_{1}+{a}_{2}+\frac{9}{2}{a}_{3})$=3a1+2a2,化為9a3=a1
∴q2=$\frac{1}{9}$,q>0,解得q=$\frac{1}{3}$.
∴an=$(\frac{1}{3})^{n}$.
(II)bn=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{3}}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$,cn=bn(bn+1-bn+2)=$\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$=$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$-$\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$,
∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=$[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$-$\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$+$(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$+…+$(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})]$
=1-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.已知m,n∈R,則“mn>0”是“一次函數(shù)y=$\frac{m}{n}x$+$\frac{1}{n}$的圖象不經(jīng)過第二象限”的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,a1=1,且$\frac{1}{a_1},\;\frac{1}{a_2},\;\frac{1}{a_4}$成等比數(shù)列,設(shè){an}的前n項和為Sn,則Sn=( 。
A.$\frac{{{{(n+1)}^2}}}{4}$B.$\frac{n(n+3)}{4}$C.$\frac{n(n+1)}{2}$D.$\frac{{{n^2}+1}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知非常數(shù)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+12-3an+1an+2an2=0(n∈N*);數(shù)列{bn}滿足$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=n2(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式an,bn;
(2)令cn=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$,求數(shù)列{cn}的前n項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為$\overline{z}$,且滿足:$\frac{\overline{z}}{1+i}$=1-2i,其中i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z的模為( 。
A.1B.3C.$\sqrt{10}$D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點,直線l:y=m(x-1)與拋物線交于A,B兩點,點A在第一象限,若|FA|=3|FB|.則m的值為(  )
A.3B.$\sqrt{3}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{1}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.設(shè)集合A={x|x2-2x≥0},B={x|-1<x<2},則A∩B=(  )
A.{x|0≤x≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|-1≤x<0}D.{x|-1<x≤0}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.如果曲線2|x|-y-4=0的圖象與曲線C:x2+λy2=4恰好有兩個不同的公共點,則實數(shù)λ的取值范圍是( 。
A.[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$]B.[-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{4}$)C.(-∞,-$\frac{1}{4}$]∪[0,$\frac{1}{4}$)D.(-∞,-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{4}$,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.等差數(shù)列中,a2=1,a11=28,則S12=174.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案