Question

6．（1）求不等式的解集：|x-1|+|x+3|≥2．
（2）不等式|x-1|+|x+3|＞a，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）條件利用絕對(duì)值的意義求得|x-1|+|x+3|的最小值為4，從而求出不等式的解集即可；
（2）由條件利用絕對(duì)值的意義求得|x-1|+|x+3|的最小值為4，由此求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵|x-1|+|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上它到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故|x-1|+|x+3|的最小值為4，4＞2，成立，
∴不等式的解集是R；
（2）|x-1|+|x+3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離加上它到-3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
故|x-1|+|x+3|的最小值為4，
再根據(jù)|x-1|+|x+3|＞a，可得4＞a，
即a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．