Question

17．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：噸）的影響，為此對近6年的年宣傳費x（單位：萬元）和年銷售量y（單位：噸）的數(shù)據(jù)進行整理，得如下統(tǒng)計表：

x（萬元）	2	3	4.5	5	7.5	8
y（噸）	3	3.5	3.5	4	6	7

（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中的$\hat b≈0.6$，試求出$\hat a$的值；
（Ⅱ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z（單位：萬元）與x、y之間的關系為z=30y-x²，根據(jù)（Ⅰ）中所求的回歸方程，求年宣傳費x為何值時，年利潤z的預估值最大？

Answer 1

分析 （1）求出$\overline{x}，\overline{y}$代入回歸方程得出；
（2）把回歸方程代入利潤公式得到z關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}=\frac{2+3+4.5+5+7.5+8}{6}=5$，$\overline{y}=\frac{3+3.5+3.5+4+6+7}{6}=4.5$，
∴$4.5=0.6×5+\hat a$，解得$\hat a=1.5$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\hat y=0.6x+1.5$，
∴$z=30\hat y-{x^2}=-{x^2}+18x+45$=-（x-9）²+126．
∴當x=9時，z取得最大值，
所以年宣傳費為9萬元時，年利潤的預估值最大．

點評 本題考查了線性回歸方程的特點，二次函數(shù)的最值，屬于基礎題．