Question

5．已知斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若經(jīng)過點D（-2，-1），斜率為k的直線m與拋物線有兩個不同的公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，即可求p的值；
（II）由題意，直線m的方程為y=kx+（2k-1），與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式，即可求k的取值范圍．

解答 解：（I）由題意可知，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點坐標為$F（\frac{p}{2}，0）$，準線方程為$x=-\frac{p}{2}$．
所以，直線l的方程為$y=x-\frac{p}{2}$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…（6分）
（II）由（I）可知，拋物線的方程為y²=2x．
由題意，直線m的方程為y=kx+（2k-1）．…（7分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+（2k-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$（1）
可得ky²-2y+4k-2=0（2）…（8分）
當k=0時，由方程（2），得y=-1．
把y=-1代入y²=2x，得$x=\frac{1}{2}$．
這時．直線m與拋物線只有一個公共點$（\frac{1}{2}，-1）$．…（9分）
當k≠0時，方程（2）得判別式為△=4-4k（4k-2）．
由△＞0，即4-4k（4k-2）＞0，亦即4k²-2k-1＜0．
解得$\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}＜k＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$．
于是，當$\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}＜k＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$且k≠0時，方程（2）有兩個不同的實根，從而方程組（1）有兩組不同的解，這時，直線m與拋物線有兩個不同的公共點，…（12分）
因此，所求m的取值范圍是$（\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}，0）∪（0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}）$．…（13分）

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．