Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)都是不等于1的正數(shù)，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知點(diǎn)${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直線y=kx+b上（其中常數(shù)k≠0，且k≠1）數(shù)列，又${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）如果b_n=3-n，求實(shí)數(shù)k、b的值；
（3）若果存在t，s∈N^*，s≠t使得點(diǎn)（t，b_s）和（s，b_t）都在直線在y=2x+1上，是否存在自然數(shù)M，當(dāng)n＞M（n∈N^*）時(shí)，a_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意把點(diǎn)P_n（a_n，S_n）、${P_{n+1}}（{a_{n+1}}，{S_{n+1}}），n∈{N^*}$代入直線y=kx+b，整理后得到$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{k}{k-1}$，由此說明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）把${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$化為指數(shù)式，結(jié)合數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列可求k值，再由${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直線y=kx+b上，取n=1求得b值；
（3）由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，知a_n＞1恒成立等價(jià)于b_n＜0恒成立．結(jié)合存在t，s∈N^*，s≠t使得點(diǎn)（t，b_s）和（s，b_t）都在直線在y=2x+1上，推得{b_n}是首項(xiàng)為正，公差為-2的等差數(shù)列．再由一定存在自然數(shù)M，使$\left\{\begin{array}{l}{b_M}≥0\\{b_{M+1}}＜0\end{array}\right.$求解自然數(shù)M的最小值．

解答 （1）證明：∵P_n（a_n，S_n）、${P_{n+1}}（{a_{n+1}}，{S_{n+1}}），n∈{N^*}$都在直線y=kx+b上，
∴$\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=k$，
即（k-1）a_n+1=ka_n，又k≠0，且k≠1，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{k}{k-1}$為非零常數(shù)，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）解：由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，得${a_n}={（\frac{1}{2}）^{b_n}}={2^{n-3}}$，即$\frac{k}{k-1}=2$，得k=2．
由${P_n}（{a_n}，{S_n}），n∈{N^*}$在直線y=kx+b上，得S_n=ka_n+b，
令n=1得，$b={S_1}-2{a_1}=-{a_1}=-\frac{1}{4}$；
（3）解：由${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，知a_n＞1恒成立等價(jià)于b_n＜0恒成立．
∵存在t，s∈N^*，s≠t使得點(diǎn)（t，b_s）和（s，b_t）都在直線在y=2x+1上，
∴b_s=2t+1，b_t=2s+1，即b_t-b_s=2（s-t），
又s=t-1，t≥2，可得b_t-b_t-1=2（t-1-t）=-2，
又b_s=b₁+（s-1）（-2）=2t+1，∴b₁=2（t+s）-1＞0，
即{b_n}是首項(xiàng)為正，公差為-2的等差數(shù)列．
∴一定存在自然數(shù)M，使$\left\{\begin{array}{l}{b_M}≥0\\{b_{M+1}}＜0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}2（t+s）-1+（M-1）（-2）≥0\\ 2（t+s）-1+M（-2）＜0\end{array}\right.$，解得$t+s-\frac{1}{2}＜M≤t+s+\frac{1}{2}$，
∵M(jìn)∈N^*，∴M=t+s．
∴存在自然數(shù)M，其最小值為t+s，使得當(dāng)n＞M（n∈N^*）時(shí)，a_n＞1恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查數(shù)列的函數(shù)特性，綜合考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證能力，問題（3）的設(shè)置體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，難度較大．