Question

18．M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，I是△MF₁F₂的內(nèi)心，延長MI交F₁F₂于N，則$\frac{|MI|}{|IN|}$等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由于三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長之間的比值關(guān)系來求解．

解答 解：如圖，連接IF₁，IF₂．在△MF₁I中，F(xiàn)₁I是∠MF₁N的角平分線，
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|}$
同理可得$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{2}N\right|}$，
∴$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{2}N\right|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|}$；
根據(jù)等比定理$\frac{|MI|}{|IN|}$=$\frac{\left|{MF}_{1}\right|+\left|{MF}_{2}\right|}{\left|{F}_{1}N\right|+\left|{F}_{2}N\right|}$=$\frac{2a}{2c}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{8-4}}$=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、初中代數(shù)中的等比定理和圓錐曲線的定義之間進(jìn)行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．