Question

3．已知B₁、B₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列四個(gè)命題中，其中正確的是②③．
①直線PB₁與PB₂的斜率之積為定值-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$；
②$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$＞0；
③△PB₁B₂的外接圓半徑的最大值為$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2a}$；
④直線PB₁與QB₂的交點(diǎn)M的軌跡為雙曲線．

Answer 1

分析 ①設(shè)P（x₀，y₀），則${k}_{P{B}_{1}}•{k}_{P{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，即可判斷出正誤；
②由于點(diǎn)P在圓x²+y²=b²外，可得${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-^{2}$＞0，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x₀，-b-y₀）•（-x₀，b-y₀）=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-^{2}$，即可判斷出正誤；
③當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)上時(shí)，∠B₁PB₂最小且為銳角，設(shè)△PB₁B₂的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}A{B}_{2}}$=$\frac{2b}{sin2∠OA{B}_{2}}$=$\frac{2b}{\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a}$，即可判斷出正誤；
④直線PB₁的方程為：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x$，直線QB₂的方程為：$y-b=\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}x$，兩式相乘可得：y²-b²=$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{-{x}_{0}^{2}}$x²，化為$\frac{{y}^{2}}{^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，即可判斷出正誤．

解答 解：①設(shè)P（x₀，y₀），$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，則${k}_{P{B}_{1}}•{k}_{P{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，因此不正確；
②∵點(diǎn)P在圓x²+y²=b²外，∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-^{2}$＞0，∴$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x₀，-b-y₀）•（-x₀，b-y₀）=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-^{2}$＞0，正確；③當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)上時(shí)，∠B₁PB₂最小且為銳角，設(shè)△PB₁B₂的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：
2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}A{B}_{2}}$=$\frac{2b}{sin2∠OA{B}_{2}}$=$\frac{2b}{\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a}$．∴$r≤\frac{{a}^{2}+^{2}}{2a}$，
∴③△PB₁B₂的外接圓半徑的最大值為$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2a}$，正確；
④直線PB₁的方程為：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x$，直線QB₂的方程為：$y-b=\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}x$，兩式相乘可得：y²-b²=$\frac{{y}_{0}^{2}-^{2}}{-{x}_{0}^{2}}$x²，
化為$\frac{{y}^{2}}{^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，由于點(diǎn)P不與B₁，B₂重合，∴M的軌跡為雙曲線的一部分，∴④不正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、正弦定理、三角形外接圓半徑、直線相交問(wèn)題、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．