Question

10．先解答（1），再通過結構類比解答（2）：
（1）求證：tan（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$；
（2）設x∈R，試問f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$是周期函數(shù)嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和的正切公式，把所給的等式的右邊展開，利用特殊角的三角函數(shù)最后得到和右邊的式子相等，等式得證．
（2）猜想是周期函數(shù)，利用周期函數(shù)的定義證明即可．

解答 解：（1）證明：tan（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanx+tan\frac{π}{4}}{1-tanxtan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tanx}{1-tanx}$；
（2）猜想f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
證明：因為f（x+2×$\frac{1}{2}$）=f[（x+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$]=$\frac{1+f（x+\frac{1}{2}）}{1-f（x+\frac{1}{2}）}$=$\frac{1+\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}{1-\frac{1+f（x）}{1-f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，周期的應用，基本知識的考查．