Question

11．如圖，已知四棱錐S-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的棱形，∠ABC=60°，側(cè)面SAD為正三角形，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，M為側(cè)棱SB的中點(diǎn)，E為線段AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：SD∥平面MAC；
（Ⅱ）求證：SE⊥AC；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于O，連接MO，由三角形中位線定理可得OM∥SD，然后由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由側(cè)面SAD為正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，可得SE⊥AD，結(jié)合側(cè)面SAD⊥底面ABCD，得SE⊥底面ABCD，則SE⊥AC；
（Ⅲ）由已知求出${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，再由M為SB的中點(diǎn)，得M到底面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入三棱錐體積公式求得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，連接MO，
∵底面ABCD是菱形，∴O為BD的中點(diǎn)，又M為側(cè)棱SB的中點(diǎn)，
∴OM∥SD，
又OM?面MAC，SD?面MAC，
∴SD∥平面MAC；
（Ⅱ）證明：∵SAD為正三角形，E為線段AD的中點(diǎn)，
∴SE⊥AD，
又側(cè)面SAD⊥底面ABCD，且側(cè)面SAD∩底面ABCD=AD，
∴SE⊥底面ABCD，而AC?底面ABCD，
∴SE⊥AC；
（Ⅲ）解：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為邊長(zhǎng)是2的正三角形，則${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
又△SAD為邊長(zhǎng)是2的正三角形，∴SE=$\sqrt{3}$，
由（Ⅱ）知SE⊥底面ABCD，即S到底面的距離為$\sqrt{3}$，
∵M(jìn)為SB的中點(diǎn)，∴M到底面的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{M-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查了棱錐體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．