7.函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b,x∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,求f(x)的解析式;
(2)在(1)條件下,g(x)=f(x)-kx,x∈[2,5]是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)若a>0,f(x)為偶函數(shù),實(shí)數(shù)m,n滿足m•n<0,m+n>0,定義函數(shù)F(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),x≥0}\\{-f(x),x<0}\end{array}\right.$,試判斷F(m)+f(n)>0能否成立,并說(shuō)明理由.

分析 (1)由已知a-b+1=0,且-$\frac{2a}$=-1,解二者聯(lián)立的方程求出a,b的值即可得到函數(shù)的解析式.
(2)求出g(x)的表達(dá)式,結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)建立對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
(3)f(x)是偶函數(shù),可得b=0,求得f(x)=ax2+1,由mn<0,m+n>0,可得m、n異號(hào),設(shè)m>0,則n<0,故可得m>-n>0,代入F(m)+F(n),化簡(jiǎn)成關(guān)于m,n的代數(shù)式,由上述條件判斷其符號(hào)即可.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,
∴a>0且a-b+1=0,且-$\frac{2a}$=-1,解得a=1,b=2,
∴函數(shù)f(x)的解析式是f(x)=x2+2x+1;
(2)在(1)的條件下,g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,
若x∈[2,5]是單調(diào)函數(shù),
則對(duì)稱軸x=-$\frac{2-k}{2}$=$\frac{k-2}{2}$≥5或$\frac{k-2}{2}$≤2,
即k≥12或k≤6,
∴k的取值范圍為(-∞,6]∪[12,+∞);
(3)F(m)+f(n)>0成立.
∵f(x)是偶函數(shù),∴b=0,∴f(x)=ax2+1,
由mn<0知m、n異號(hào),不妨設(shè)m>0,則n<0,又由m+n>0得m>-n>0,
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+1-(an2+1)=a(m2-n2),
由m>-n>0得m2>n2,又a>0,得F(m)+F(n)>0,
∴F(m)+F(n)的值為正.

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次函數(shù)解析式的求解,以及利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷式的符號(hào),考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

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