Question

7．函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b，x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）條件下，g（x）=f（x）-kx，x∈[2，5]是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若a＞0，f（x）為偶函數(shù)，實(shí)數(shù)m，n滿足m•n＜0，m+n＞0，定義函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，試判斷F（m）+f（n）＞0能否成立，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知a-b+1=0，且-$\frac{2a}$=-1，解二者聯(lián)立的方程求出a，b的值即可得到函數(shù)的解析式．
（2）求出g（x）的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)建立對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（3）f（x）是偶函數(shù)，可得b=0，求得f（x）=ax²+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n異號(hào)，設(shè)m＞0，則n＜0，故可得m＞-n＞0，代入F（m）+F（n），化簡(jiǎn)成關(guān)于m，n的代數(shù)式，由上述條件判斷其符號(hào)即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，
∴a＞0且a-b+1=0，且-$\frac{2a}$=-1，解得a=1，b=2，
∴函數(shù)f（x）的解析式是f（x）=x²+2x+1；
（2）在（1）的條件下，g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
若x∈[2，5]是單調(diào)函數(shù)，
則對(duì)稱軸x=-$\frac{2-k}{2}$=$\frac{k-2}{2}$≥5或$\frac{k-2}{2}$≤2，
即k≥12或k≤6，
∴k的取值范圍為（-∞，6]∪[12，+∞）；
（3）F（m）+f（n）＞0成立．
∵f（x）是偶函數(shù)，∴b=0，∴f（x）=ax²+1，
由mn＜0知m、n異號(hào)，不妨設(shè)m＞0，則n＜0，又由m+n＞0得m＞-n＞0，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-（an²+1）=a（m²-n²），
由m＞-n＞0得m²＞n²，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值為正．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次函數(shù)解析式的求解，以及利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)判斷式的符號(hào)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．