Question

5．設(shè)u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$，證明數(shù)列{u_n}的極限存在．

Answer 1

分析 把$\frac{1}{{n}^{2}}$放縮并裂項為$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，求其和后可得u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$．由此可得數(shù)列{u_n}的極限存在．

解答 證明：∵$\frac{1}{{n}^{2}}＜\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n≥2），
∴u_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$．
∴當(dāng)n→∞時，數(shù)列{u_n}的極限存在，等于2．

點評 本題考查數(shù)列的極限，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．