Question

5．已知方程x²+y²-4（m+1）x+2（1-m²）y+m⁴-1=0表示一個圓．
（1）求m的取值范圍；
（2）若直線l：x+y=0與圓交于A、B兩點，圓心到直線l的距離為2$\sqrt{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)D²+E²-4F＞0列出不等式解出；
（2）根據(jù)弦心距求出圓心坐標，解出圓的半徑，利用垂徑定理解出弦長．

解答 解：（1）∵x²+y²-4（m+1）x+2（1-m²）y+m⁴-1=0表示一個圓，
∴16（m+1）²+4（1-m²）²-4（m⁴-1）＞0，
整理得，m²+4m+3＞0，解得m＜-3，或m＞-1．
∴m的取值范圍是（-∞，-3）∪（-1，+∞）．
（2）-$\frac{D}{2}$=2（m+1），-$\frac{E}{2}$=m²-1，即圓心坐標為（2m+2，m²-1），
∴d=$\frac{|2m+2+{m}^{2}-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．解得m=-3（舍），或m=1．
圓的半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$=4．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-6y5dloa^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓的一般方程，直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理是解決直線與圓相交問題常用的方法．