Question

11．若（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ展開式的系數(shù)和為256，則其展開式的常數(shù)項為5670．

Answer 1

分析 根據(jù)題意令x=1求出n的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中的常數(shù)項．

解答 解：∵（x²+$\frac{9}{{x}^{2}}$-6）ⁿ=（x-$\frac{3}{x}$）²ⁿ，
且展開式的系數(shù)和為256，
∴令x=1，得（1-3）²ⁿ=256，
解得n=4；
∴（x-$\frac{3}{x}$）⁸的展開式中第r+1項為
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（-\frac{3}{x}）}^{r}$=（-3）^r•${C}_{8}^{r}$•x^8-2r，
令8-2r=0，解得r=4，
∴展開式中的常數(shù)項為（-3）⁴•${C}_{8}^{4}$=81${C}_{8}^{4}$=5670．
故答案為：5670．

點評 本題考查了二項式定理以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)的應用問題，是基礎題目．