Question

19．已知兩向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$滿足|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，若向量2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 利用平面向量的數(shù)量積公式，夾角為鈍角，得到數(shù)量積小于0，且兩個向量不共線，由此得到t的范圍．

解答 解：由已知得到|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|²=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，因為2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為鈍角，
屬于（2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$2t{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+（1-2t）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=2t-1+$\frac{1}{2}$（1-2t）＜0，且2t$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$≠λ（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
解得t＜$\frac{1}{2}$且t≠$-\frac{1}{2}$．
所以實數(shù)t的取值范圍t＜$\frac{1}{2}$且t≠$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量積的運算，同時考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．