Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． [1，2）
• C． [0，2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性和極值，即可得到結論．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴函數(shù)的f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）＞0解得x＞1，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此時函數(shù)單調遞減，
故x=1時，函數(shù)取得極小值．
①當k=1時，（k-1，k+1）為（0，2），函數(shù)在（0，1）上單調減，在（1，2）上單調增，此時函數(shù)在（0，2）上不是單調函數(shù)，滿足題意；
②當k＞1時，∵函數(shù)f（x）在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內不是單調函數(shù)，
∴x=1在（k-1，k+1）內，
即$\left\{\begin{array}{l}{k-1＜1}\\{k+1＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜2}\\{k＞0}\end{array}\right.$，即0＜k＜2，
此時1＜k＜2，
綜上1≤k＜2，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性的應用，求函數(shù)的導數(shù)和極值是解決本題的關鍵．