Question

在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），動點B在x軸上運動，動點C在直線y=x上，那么△ABC的周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程,兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：利用對稱知識求出B關于直線y=x的對稱點，利用點到直線的距離說明最小值的位置，求解即可．

解答： 解：按題意畫圖，設B點的坐標（m，0），B點關于y=x直線的對稱點P的坐標就為（0，m），P與A連接，與y=x線上的交點為C，得到△ABC，∵P點是B點關于y=x直線的對稱點，∴CB=PC，即PA=PC+AC=AC+BC，即得到了△ABC的AB+BC=PC為最�。�當PA⊥BC時B點到PA直線的距離為最短，此時△ABC的周長最小．PA⊥BC，兩條直線的鈄率的乘積=-1，即

1-0

2-m

•

m-1

0-2

=-1
求出m=

5

3

，PA=

22+( 5 3 -1)2

=

2 10

3

．
AB=

(2- 5 3 )2+(1-0)2

=

10

3

，得到△ABC的周長的最小值為：

2 10

3

+

10

3

=

10

．
故答案為：

10

．

點評：本題考查點、直線關于直線對稱知識的應用，三角形的周長的最小值，點到直線的距離公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．