Question

12．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，∠ACB=90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB₁的中點，當(dāng)二面角C₁-AA₁-B為45°時，直線EF與BC₁的夾角為（　�。�

• A． 60°
• B． 45°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 先將EF平移到AB₁，再利用中位線進行平移，使兩條異面直線移到同一點，得到直線EF和BC₁所成的角，求之即可．

解答 解：由題意可得∠CAB=45°為二面角C₁-AA₁-B的平面角，△ABC為等腰直角三角形，
連AC₁，取AC₁得中點O，∵E，F(xiàn)分別是棱AB，BB₁的中點，∴OE平行且等于$\frac{1}{2}$BC₁，
∠OEF=θ或其補角，即為直線EF與BC₁的夾角．
由于OE=$\frac{1}{2}$BC₁=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+EB}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$，OF=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cosθ=$\frac{{OE}^{2}{+EF}^{2}{-OF}^{2}}{2OE•EF}$=0，
∴θ=90°，
故選：C．

點評 本題主要考查了異面直線及其所成的角，平移法是研究異面直線所成的角的最常用的方法，經(jīng)�？疾�，屬于中檔題．