Question

19．已知三角形△ABC中，∠ACB=60°，CH為AB邊上的高，H為垂足；設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，CH=h；
（1）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的取值范圍；
（2）若已知h=$\sqrt{3}$，試解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
①求a，b滿足的等式；
②求三角形ABC的周長(zhǎng)l的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意和余弦定理列出式子，由完全平方和公式和基本不等式求出a+b的范圍，結(jié)合三角形三邊的關(guān)系可a+b的取值范圍；
（2）①由題意和余弦定理列出式子求出c，由三角形的兩個(gè)公式列出方程后將c代入化簡(jiǎn)即可；
②由①和不等式求出ab的范圍，利用①表示出得ABC的周長(zhǎng)l，由基本不等式求出l的范圍，即可求出三角形ABC的周長(zhǎng)l的最小值．

解答 解（1）∵△ABC中，∠ACB=60°，c=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
則a²+b²-ab=3…（2分）
∴（a+b）²-3=3ab$≤3（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
解得a+b≤$2\sqrt{3}$ …（5分）
∵a+b＞c，∴$\sqrt{3}＜a+b≤2\sqrt{3}$…（6分）
（2）①在△ABC中，∠ACB=60°，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，則c²=a²+b²-ab，
即c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}$，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ch$，
∴$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}•\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}•\sqrt{3}$，則$\frac{1}{2}ab=\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}$…（10分）
②由①可知$\frac{1}{2}ab=\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}$，
則$ab+\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}={a}^{2}+^{2}$≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)候取等號(hào)；
解得ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)；…（12分）
∴三角形ABC的周長(zhǎng)l=a+b+c=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-ab}$
=a+b+$\frac{1}{2}$ab≥$2\sqrt{ab}+\frac{1}{2}ab≥2\sqrt{4}+\frac{1}{2}•4$=6，
當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2”取等號(hào)，
∴當(dāng)a=b=2時(shí)，l取得最小值為6．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，三角形面積公式的靈活應(yīng)用，以及基本不等式求最值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．