Question

2．已知函數(shù)f（x）=|e^x-e²x|，方程f²（x）+af（x）+a-1=0有四個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）
• B． （-∞，e²）
• C． （-2e²，1-e²）
• D． （1-e²，1）

Answer 1

分析 由g（x）=e^x-e²x的導數(shù)為e^x-e²，求得單調區(qū)間和極值，畫出y=f（x）的圖象，求得方程的根，由題意可得
y=f（x）與y=1-a有四個交點等價為0＜1-a＜e²，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：由g（x）=e^x-e²x的導數(shù)為g′（x）=e^x-e²，
當x＞2時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當x＜2時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=2處取得極小值，且為-e²，
畫出函數(shù)f（x）=|e^x-e²x|的圖象，
f²（x）+af（x）+a-1=0的兩根為f（x）=-1，f（x）=1-a，
由題意可得y=f（x）與y=1-a有四個交點等價為0＜1-a＜e²，
解得1-e²＜a＜1，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)和方程的轉化思想，考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值，考查數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題．