Question

18．已知實數(shù)x滿足（$\frac{1}{3}$）^2x-4-（$\frac{1}{3}$）^x-（$\frac{1}{3}$）^x-2+$\frac{1}{9}$≤0且f（x）=log₂$\frac{x}{2}$$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}$
（1）求實數(shù)x的取值范圍；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此時x的值．

Answer 1

分析 （1）化簡可得81（$\frac{1}{3}$）^2x-10（$\frac{1}{3}$）^x+$\frac{1}{9}$≤0，從而解得$\frac{1}{9}$≤9（$\frac{1}{3}$）^x≤1，從而求得；
（2）化簡f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，從而求最值．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{3}$）^2x-4-（$\frac{1}{3}$）^x-（$\frac{1}{3}$）^x-2+$\frac{1}{9}$≤0，
∴81（$\frac{1}{3}$）^2x-10（$\frac{1}{3}$）^x+$\frac{1}{9}$≤0，
∴$\frac{1}{9}$≤9（$\frac{1}{3}$）^x≤1，
∴0≤x-2≤2，
故實數(shù)x的取值范圍為[2，4]；
（2）f（x）=log₂$\frac{x}{2}$$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}$
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[2，4]，∴l(xiāng)og₂x∈[1，2]，
∴-$\frac{1}{4}$≤（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≤0，
∴當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時，f（x）有最小值-$\frac{1}{4}$，當(dāng)x=2或4時，f（x）有最大值0．

點評 本題考查了冪運算的應(yīng)用及對數(shù)運算的應(yīng)用，同時考查了整體思想的應(yīng)用及配方法的應(yīng)用．