Question

9．如圖4，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點，連接AM，AN，MN．
（1）若PA=AB，求證：AN⊥平面PBC．
（2）若MN=5，AD=3，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥面PAB，可得BC⊥AN，利用PA=AB，點N是PB的中點，可得AN⊥PB，即可證明AN⊥平面PBC；
（2）求二面角N-AM-B的余弦值，可采用找二面角的平面角的辦法，因為易證平面PAB⊥平面ABCD，所以可以直接過N作AB的垂線垂足為G，則該垂線垂直于底面，然后過垂足G作AM的垂線GF，連接NF，則二面角的平面角找出，然后利用題目給出的條件，通過解直角三角形進行求解即可．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵ABCD為正方形，∴BC⊥AB；
又PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB，
∵AN?面PAB，
∴BC⊥AN，
∵PA=AB，點N是PB的中點，
∴AN⊥PB，
∵PB∩BC=B，
∴AN⊥平面PBC；
（2）解：取AB中點G，連結(jié)NG，則NG∥PA，PA⊥面ABCD，
∴NG⊥面ABCD．
∵AM?面ABCD，
∴NG⊥AM．
過G作GF⊥AM，垂足為F，連接NF，
∵NG∩GF=G，NG?面NGF，GF?面NGF，
∴AM⊥面NGF．
∵NF?面NGF，
∴AM⊥NF．
∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．
在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG=4，
在Rt△MGA中，AG=$\frac{3}{2}$，得AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，GF=$\frac{AG•MG}{AM}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△NGF中，NF=$\sqrt{N{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{445}}{5}$，
∴cos∠NFG=$\frac{GF}{NF}$=$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．
∴二面角N-AM-B的余弦值為$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，“尋找垂面，構(gòu)造垂線”是找二面角的平面角常用的方法，此題是中檔題．