Question

6．三棱錐P-ABC中，$AB=AC=\sqrt{2}$，AP=BC=2，$BP=\sqrt{6}$，BC⊥AP，則此三棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$
• C． $\frac{{16\sqrt{2}π}}{3}$
• D． $\frac{{32\sqrt{2}π}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理可判斷AP⊥AB，AB⊥AC，AP⊥平面ABC，求出三棱錐的外接球的直徑，即可求出三棱錐的外接球的體積．

解答 解：∵AP=2，AB=$\sqrt{2}$，$BP=\sqrt{6}$，滿足AP²+AB²=PB²
∴AP⊥AB，又AP⊥BC，BC∩AB=B，
∴AP⊥平面ABC，
∵AB=AC=$\sqrt{2}$，BC=2，∴AB⊥AC，
∴三棱錐的外接球的直徑是$\sqrt{4+2+2}$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱錐的外接球的體積為$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了三棱錐的外接球的體積，關鍵是根據(jù)線段的數(shù)量關系求出三棱錐的外接球的直徑．