Question

6．如圖所示，MA為圓O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn)MC交圓O于B，C兩點(diǎn)，MA=6，MB=3，AB=$\sqrt{17}$，∠BAC的角平分線(xiàn)與BC和圓O分別交于點(diǎn)D，E．
（Ⅰ）求證：$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）求AD和AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件得到△PAB∽△PCA，于是得到結(jié)論；
（Ⅱ）由切割線(xiàn)定理求出MC=12，BC=9，根據(jù)已知條件推出△ACE∽△ADB，列比例式即可得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)A為圓O的切線(xiàn)，
∴由弦切角定理可得∠MAB=∠ACM，
∵∠M=∠M，
∴△ABM∽△CAM，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$
∵∠BAC的角平分線(xiàn)與BC交于點(diǎn)D，
∴由角平分線(xiàn)定理可得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CA}$，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）連接AO，CE．
∵M(jìn)A為圓O的切線(xiàn)，MBC是過(guò)點(diǎn)O的割線(xiàn)，
∴由切割線(xiàn)定理得MA²=MB•MC，
∵M(jìn)A=6，MB=3，
∴6²=3MC
∴MC=12，
∵M(jìn)B=3，∴BC=9，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=81，
由（1）知$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$$\sqrt{5}$，AB=$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵同弧所對(duì)的圓周角相等，∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{162}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．