Question

13．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DC中點(diǎn)，AB=4，BB₁=BC=2．
（1）求線段B₁E的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)C₁到平面B₁ED₁的距離．

Answer 1

分析 （1）以A₁為原點(diǎn)，以A₁B₁所在直線為x軸，以A₁D₁所在直線為y軸，以A₁A所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|．
（2）求出平面B₁ED₁的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)C₁到平面B₁ED₁的距離．

解答 解：（1）以A₁為原點(diǎn)，以A₁B₁所在直線為x軸，以A₁D₁所在直線為y軸，以A₁A所在直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則有B₁（4，0，0），D₁（0，2，0），D（0，2，2），
C（4，2，2），E（2，2，2），C₁（4，2，0），…（2分）
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，2），…（3分）
|$\overrightarrow{{B}_{1}E}$|=$\sqrt{（-2）^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-4，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，2，0），
設(shè)平面B₁ED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=-4x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=-2x+2y+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴點(diǎn)C₁到平面B₁ED₁的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．