Question

12．已知圓（x-a）²+（y-b）²=1與兩直線l₁：3x-4y-1=0和l₂：4x+3y+1=0都有公共點(diǎn)，則$\frac{a+2}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{3}{4}$，+∞）
• D． [-$\frac{21}{22}$，$\frac{14}{27}$]

Answer 1

分析 圓（x-a）²+（y-b）²=1與二直線l₁：3x-4y-1=0和l₂：4x+3y+1=0都有公共點(diǎn)，可得圓心C到直線的距離小于等于半徑，即可求$\frac{a+2}$的取值范圍．

解答 解：∵圓：（x-a）²+（y-b）²=1，圓心為C（a，b），半徑為1．
∵直線l₁：3x-4y-1=0和圓：（x-a）²+（y-b）²=1有公共點(diǎn)，
∴圓心C到直線的距離：$\frac{|3a-4b-1|}{5}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b-6≤0}\\{3a-4b+4≥0}\end{array}\right.$…①
∵直線l₂：4x+3y+1=0和圓：（x-a）²+（y-b）²=1有公共點(diǎn)，
∴圓心C到直線的距離：$\frac{|4a+3b+1|}{5}$≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{4a+3b-4≤0}\\{4a-3b+6≥0}\end{array}\right.$…②
∴作出①②不等式組表示的平面區(qū)域如圖：

∴由$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b+4=0}\\{4a+3b-4=0}\end{array}\right.$得B（$\frac{4}{25}$，$\frac{28}{25}$）．E（-2，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{3a-4b-6=0}\\{4a+3b+6=0}\end{array}\right.$得D（-$\frac{6}{25}$，-$\frac{42}{25}$）
∴由$\frac{a+2}$的幾何意義可得，最大值為k_BE=$\frac{14}{27}$，最小值為k_ED=-$\frac{21}{22}$，
∴$\frac{a+2}$的取值范圍為[-$\frac{21}{22}$，$\frac{14}{27}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，