Question

17．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下結論：
①直線A₁B與B₁C所成的角為60°；
②若M是線段AC₁上的動點，則直線CM與平面BC₁D所成角的正弦值的取值范圍是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1]$；
③若P，Q是線段AC上的動點，且PQ=1，則四面體B₁D₁PQ的體積恒為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中，正確結論的個數是（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 ①先證明A₁B與A₁D所成角為60°，又B₁C∥A₁D，可得直線A₁B與B₁C所成的角為60°，判斷①正確；
②由平面BDC₁⊥平面ACC₁，結合線面角的定義分別求出直線CM與平面BDC₁所成角的正弦值最大值與最小值判斷②正確；
③在PQ變化過程中，四面體PQB₁D₁的頂點D₁到底面B₁PQ的距離不變，底面積不變，則體積不變，求出體積判斷③正確．

解答 解：①在△A₁BD中，每條邊都是$\sqrt{2}$，即為等邊三角形，∴A₁B與A₁D所成角為60°，
又B₁C∥A₁D，∴直線A₁B與B₁C所成的角為60°，正確；
②如圖，由正方體可得平面BDC₁⊥平面ACC₁，當M點位于AC₁上，且使CM⊥平面BDC₁時，直線CM與平面BDC₁所成角的正弦值最大為1，
當M與C₁重合時，連接CM交平面BDC₁所得斜線最長，直線CM與平面BDC₁所成角的正弦值最小等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線CM與平面BDC₁所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，正確；
③連接B₁P，B₁Q，設D₁到平面B₁AC的距離為h，則h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，B₁到直線AC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則四面體PQB₁D₁的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，正確．
∴正確的命題是①②③．
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，根據空間直線和平面平行或垂直的判定定理是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力．