A. | 0個(gè) | B. | 1個(gè) | C. | 2個(gè) | D. | 3個(gè) |
分析 ①先證明A1B與A1D所成角為60°,又B1C∥A1D,可得直線A1B與B1C所成的角為60°,判斷①正確;
②由平面BDC1⊥平面ACC1,結(jié)合線面角的定義分別求出直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大值與最小值判斷②正確;
③在PQ變化過(guò)程中,四面體PQB1D1的頂點(diǎn)D1到底面B1PQ的距離不變,底面積不變,則體積不變,求出體積判斷③正確.
解答 解:①在△A1BD中,每條邊都是$\sqrt{2}$,即為等邊三角形,∴A1B與A1D所成角為60°,
又B1C∥A1D,∴直線A1B與B1C所成的角為60°,正確;
②如圖,由正方體可得平面BDC1⊥平面ACC1,當(dāng)M點(diǎn)位于AC1上,且使CM⊥平面BDC1時(shí),直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最大為1,
當(dāng)M與C1重合時(shí),連接CM交平面BDC1所得斜線最長(zhǎng),直線CM與平面BDC1所成角的正弦值最小等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴直線CM與平面BDC1所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$,1],正確;
③連接B1P,B1Q,設(shè)D1到平面B1AC的距離為h,則h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,B1到直線AC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
則四面體PQB1D1的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$,正確.
∴正確的命題是①②③.
故選:D
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷,根據(jù)空間直線和平面平行或垂直的判定定理是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的推理能力.
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A. | ①③ | B. | ①④ | C. | ②④ | D. | ③④ |
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A. | y=ln$\sqrt{1-{x}^{2}}$ | B. | y=3x | C. | y=x2-2x | D. | y=x3 |
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