Question

3．若直線ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由于直線ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，可得直線l經(jīng)過圓心M（2，1），a+b=2．再利用“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值．

解答 解：∵直線ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長
∴直線經(jīng)過圓心M（2，1），
∴2a+2b-4=0，即a+b=2．
∵a，b＞0，
即有$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$）=2，
當且僅當a=b=1時取等號．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為2．
故選：C．

點評 本題考查了“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．