18.記min{a,b,c}為實(shí)數(shù)a,b,c中最小的一個(gè),已知函數(shù)f(x)=-x+1圖象上的點(diǎn)(x1,x2+x3)滿足:對(duì)一切實(shí)數(shù)t,不等式-t2-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立,如果min{-x1,-x2,-x3}=-x1,那么x1的取值范圍是$[\frac{1}{3},+∞)$.

分析 函數(shù)f(x)=-x+1圖象上的點(diǎn)(x1,x2+x3),可得x2+x3=-x1+1.由于min{-x1,-x2,-x3}=-x1,可得-x2>-x1,-x3≥-x1,可得x1$≥\frac{1}{3}$.對(duì)一切實(shí)數(shù)t,不等式-t2-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立,可得△≤0,化為:$({2}^{{x}_{1}^{2}}-{2}^{3-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}})^{2}$≤0,解出即可得出.

解答 解:函數(shù)f(x)=-x+1圖象上的點(diǎn)(x1,x2+x3),∴x2+x3=-x1+1.
∵min{-x1,-x2,-x3}=-x1,∴-x2>-x1,-x3≥-x1,∴x2≤x1,x3≤x1,∴-x1+1≤2x1,解得x1$≥\frac{1}{3}$.
對(duì)一切實(shí)數(shù)t,不等式-t2-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立,
∴△=$(-{2}^{{x}_{1}^{2}})^{2}$+4(4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$)≤0,
化為:$({2}^{{x}_{1}^{2}}-{2}^{3-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}})^{2}$≤0,
∴${x}_{1}^{2}$≤$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$,或${x}_{1}^{2}$≥$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$,
∵x2+x3=-x1+1,
∴2(${x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}$)≥$({x}_{2}+{x}_{3})^{2}$=$(1-{x}_{1})^{2}$,
∴${x}_{1}^{2}$≤$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$≤3-$\frac{1}{2}$$(1-{x}_{1})^{2}$,及x1$≥\frac{1}{3}$,解得$\frac{1}{3}$≤x1≤$\frac{5}{3}$.
或${x}_{1}^{2}$≥$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$,則${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$+${x}_{3}^{2}$-3≥${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$$(1-{x}_{1})^{2}$-3≥0,及x1$≥\frac{1}{3}$,解得${x}_{1}≥\frac{5}{3}$.
綜上可得:x1的取值范圍是$[\frac{1}{3},+∞)$.
故答案為:$[\frac{1}{3},+∞)$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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18.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R沒(méi)有極值點(diǎn),則( 。
A.a>1B.0<a<1C.a≥0D.a>0

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19.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( 。
①f(x)=|x|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x(x≥0)}\\{-x(x<0)}\end{array}\right.$ ②f(x)=$\frac{{x}^{2}-4}{x-2}$,g(x)=x+2 ③f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=x+2 ④f(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$,g(x)=0,x∈{-1,1}.
A.①③B.C.②④D.①④

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6.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)是4,則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是( 。
A.4B.$\frac{4}{sin1}$C.4sin1D.sin2

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3.若直線ax+2by-4=0(a>0,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長(zhǎng),則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為(  )
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(I)求AC的長(zhǎng);
(Ⅱ)求CD的長(zhǎng).

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(Ⅰ)當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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