Question

15．記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，{b_n}，n，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=a，${x_{n+1}}=[\frac{{{x_n}+[\frac{a}{x_n}]}}{2}]（n∈{N^*}）$，現(xiàn)有下列命題：
①當a=5時，數(shù)列{x_n}的前3項依次為5，3，2；   ②對數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當n≥k時總有x_n=x_k；
③當n≥1時，x_n＞$\sqrt{a}$-1；                   ④對某個正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則${x_n}=[\sqrt{a}]$．
其中的真命題有①③④．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 按照給出的定義對四個命題結(jié)合數(shù)列的知識逐一進行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤．

解答 解：①當a=5時，x₁=5，x₂=$[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]$=3，x₃=$[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]$=2，故正確；
②令a=3，則x₁=3，
∴x₂=$[\frac{3+[\frac{3}{3}]}{2}]$=2，x₃=$[\frac{2+[\frac{3}{2}]}{2}]$=1，x₄=$[\frac{1+[\frac{3}{1}]}{2}]$=2，…，
即以后各項均為1、2交替出現(xiàn)，故不正確；
③當n=1時，x₁=a，
∵a-（$\sqrt{a}$-1）=$（\sqrt{a}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$＞0，
∴x₁=a＞$\sqrt{a}$-1成立；
假設(shè)當n=k（k≥2）時，x_k＞$\sqrt{a}$-1，
∵$\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}$＞$\frac{\sqrt{a}-1+[\frac{a}{\sqrt{a}-1}]}{2}$＞$\sqrt{a}$-1，
∴x_k+1=$[\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}]$≥$[\sqrt{a}-\frac{1}{2}]$＞$\sqrt{a}$-1，
即當n=k+1時，結(jié)論亦成立；
綜上所述，對任意正整數(shù)n，當n≥1時，x_n＞$\sqrt{a}$-1，故正確；
④∵x_k+1=$[\frac{{x}_{k}+[\frac{a}{{x}_{k}}]}{2}]$≥x_k，
∴由①、②規(guī)律可知結(jié)論成立．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強的推理和思維能力，注意解題方法的積累，屬于難題．