Question

4．如圖，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2．過點A任作一條直線與圓O：x²+y²=1相交于M，N兩點，則$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2．

Answer 1

分析 先求出C的坐標(biāo)，再設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），即可求出$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$．

解答 解：∵圓C與x軸相切于點T（1，0），
∴圓心的橫坐標(biāo)x=1，取AB的中點E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
則|BC|=$\sqrt{2}$，即圓的半徑r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，$\sqrt{2}$），
∴E（0，$\sqrt{2}$），
又∵|AB|=2，且E為AB中點，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M、N在圓O：x²+y²=1上，
∴可設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NB|}{|NA|}$=$\sqrt{2}$+1，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用三角函數(shù)值表示單位圓上點的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．