Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）設向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)量積的計算公式即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，而由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$即可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$；
（2）同理可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值，而可求出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}=-3$，從而根據(jù)向量夾角余弦的計算公式即可求出cosθ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos120°$=$1×2×（-\frac{1}{2}）=-1$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={1}^{2}+2×（-1）+{2}^{2}=3$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3}$；
（2）同理可求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{7}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}={1}^{2}-{2}^{2}=-3$；
∴$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}=\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{7}}$=$-\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及其計算公式，根據(jù)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的方法，以及向量夾角余弦的計算公式．