Question

9．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）求m的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$為奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x），結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得m的值；
（2）任取1＜m＜n，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷f（m）-f（n）的符號(hào)，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
∴函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1-mx}{x-1}$為奇函數(shù)，
故f（-x）=-f（x），
即${log}_{2}\frac{1+mx}{-x-1}$=-${log}_{2}\frac{1-mx}{x-1}$，
即$\frac{1+mx}{-x-1}$•$\frac{1-mx}{x-1}$=$\frac{1-{{{m}^{2}x}^{\;}}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
解得：m=-1，或m=1，
又∵m=1時(shí)，$\frac{1-mx}{x-1}$=-1，故舍去，
∴m=-1
證明：（2）由（1）得f（x）=${log}_{2}\frac{1+x}{x-1}$，
任取1＜m＜n，則f（m）-f（n）=${log}_{2}\frac{1+m}{m-1}$-${log}_{2}\frac{1+n}{n-1}$=${log}_{2}\frac{（1+m）（n-1）}{（m-1）（n+1）}$=${log}_{2}\frac{mn-m+n-1}{mn+m-n-1}$=${log}_{2}[1-\frac{2（m-n）}{mn+m-n-1}]$＞log₂1=0，
即f（m）＞f（n），
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．