Question

20．在已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R$（{\begin{array}{l}{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}\end{array}}）$的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個最低點為$M（{\begin{array}{l}{\frac{2π}{3}，-2}\end{array}}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$時，求f（x）的最值以及取得最值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象的頂點坐標(biāo)求出A、由周期求得ω，根據(jù)五點法作圖求得φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng)$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$時，求f（x）的最值以及取得最值時x的值．

解答 解：（1）由最低點為$M（{\begin{array}{l}{\frac{2π}{3}，-2}\end{array}}）$，可得A=2，根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$．
由x軸上相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{2}$，得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）當(dāng)$x∈[{\begin{array}{l}{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}\end{array}}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值2；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．