Question

15．在△ABC中，已知C=30°，c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)正弦定理表示出a與b，然后利用輔助角公式進行化簡，利用A的范圍，進而求得a+b的范圍．

解答 解：∵由正弦定理知a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}$sinA=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）sinA，b=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）sinB，
∴a+b═2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）（sinA+sinB）=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）[sinA+sin（150°-A）]=（8+4$\sqrt{3}$）sin（A+θ），
∴tan$θ=2-\sqrt{3}$，θ=15°，
∵0°＜A＜150°，
∴A=0°或150°時，sin15°=sin165°，a十b有最小值，當A=75°時，sin（A十θ）=1，有最大值，
∴a+b∈（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，8+4$\sqrt{3}$]，
∴a+b的取值范圍為（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，8+4$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查了正弦定理的應用，輔助角公式的應用．考查了學生對基礎(chǔ)知識的綜合運用，屬于中檔題．