Question

2．定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)f（x）對任意非零實數(shù)x，y滿足：f（xy）=f（x）+f（y），且當0＜x＜1時，f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（-1）及f（1）的值；
（Ⅱ）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x²-$\frac{1}{2}$）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別令x=y=1，x=y=-1，求出f（1）和f（-1）的值；
（Ⅱ）令x=x，y=-1，即可求出f（-x）=f（x），f（x）為偶函數(shù)
（Ⅲ）先判斷函數(shù)的單調性，在根據(jù)單調性得到關于x的不等式組，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令x=y=-1，
則f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
（Ⅱ）令x=x，y=-1，
則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，
∵f（2）+f（x²-$\frac{1}{2}$）=f（2x²-1）≤0=f（1）=f（-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-1＜0}\\{2{x}^{2}-1≥-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-1＞0}\\{2{x}^{2}-1≤1}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．或-1≤x＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤1，
∴不等式的解集為[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調性的證明與應用，同時考查了恒成立問題的應用，屬于中檔題．