Question

5．曲線y=e^x和曲線y=lnx分別與直線x=x₀交于點(diǎn)A，B，且曲線y=e^x在點(diǎn)A處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)B處的切線平行，則x₀在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 分別求得y=e^x和y=lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得斜率相等，再設(shè)f（x）=xe^x-1，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，即可判斷所求區(qū)間．

解答 解：y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
y=e^x在點(diǎn)A處的切線斜率為k₁=e^x₀，
y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
曲線y=lnx在點(diǎn)B處的切線斜率為k₂=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
曲線y=e^x在點(diǎn)A處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)B處的切線平行，
可得k₁=k₂，即有x₀e^x₀=1，
可令f（x）=xe^x-1，（x＞0），f′（x）=（x+1）e^x＞0，
f（x）在x＞0遞增，
又f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得
f（x）在（0，1）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．