Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$（對n≥1恒成立）且a₄=54，則a_n=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．

Answer 1

分析 先求出a₄=S₄-S₃=27a1=54，從而得到S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$=3ⁿ-1，由此能求出a_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$（對n≥1恒成立），且a₄=54，
∴a₄=S₄-S₃=$\frac{{a}_{1}（81-1）}{2}-\frac{{a}_{1}（27-1）}{2}$=27a1，
∵a₄=54，∴a₁=2，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．
n=1時(shí)，上式成立，∴a_n=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．
故答案為：$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式a_n=S_n-S_n-1的合理運(yùn)用．
S_n=$\frac{{a}_{1}（3n-1）}{2}$更正為：S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$．