Question

6．設(shè)數(shù)列a_n=min{k+$\frac{n}{4k}$|k∈N^*），定義“優(yōu)數(shù)列”：△a_n=a_n-[a_n]（n=1，2，…），其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）探究數(shù)列{a_n}的單調(diào)性；
（3）探究?jī)?yōu)數(shù)列：△a₁，△a₂，…，△a₂₀₁₅中等于0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)；
（4）設(shè)S_n=△a₁+△a₂+…+△a_n為優(yōu)數(shù)列的前n項(xiàng)和，試求S₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，取k=1可得a_n，則數(shù)列的a₁，a₂，a₃，a₄的值可求；
（2）直接利用作差法說明數(shù)列是遞增數(shù)列；
（3）由題意可得，a_n=[a_n]，由此可知$1+\frac{n}{4}=[1+\frac{n}{4}]$，求出前2015項(xiàng)中是4的倍數(shù)項(xiàng)得答案；
（4）探究?jī)?yōu)數(shù)列的項(xiàng)呈4為周期周期出現(xiàn)，由此可得答案．

解答 解：（1）∵a_n=min{k+$\frac{n}{4k}$|k∈N^*}，
∴k=1，${a}_{n}=1+\frac{n}{4}$．
∴${a}_{1}=\frac{5}{4}，{a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{7}{4}，{a}_{4}=2$；
（2）∵${a}_{n}=1+\frac{n}{4}$，
∴${a}_{n}-{a}_{n-1}=1+\frac{n}{4}-1-\frac{n-1}{4}=\frac{1}{4}＞0$，
∴a_n＞a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（3）△a_n=a_n-[a_n]，
令△a_n=0，得a_n=[a_n]，
∴$1+\frac{n}{4}=[1+\frac{n}{4}]$，
n=4、8、12、…等4的倍數(shù)，
∴2015÷4=503余3．
∴△a₁，△a₂，…，△a₂₀₁₅中等于0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是503項(xiàng)；
（4）由△a_n=a_n-[a_n]，可得T=4出現(xiàn)0．
當(dāng)n≤4時(shí)，△a₁=$\frac{1}{4}$，△a₂=$\frac{2}{4}$，△a₃=$\frac{3}{4}$，△a₄=0；
當(dāng)4＜n≤8時(shí)，△a₅=$\frac{1}{4}$，△a₆=$\frac{2}{4}$，△a₇=$\frac{3}{4}$，△a₈=0；
…
當(dāng)2012＜n≤2015時(shí)，△a₂₀₁₃=$\frac{1}{4}$，△a₂₀₁₄=$\frac{2}{4}$，△a₂₀₁₅=$\frac{3}{4}$．
∴${S}_{2015}=504×（\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}）=756$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，探究?jī)?yōu)數(shù)列規(guī)律性的出現(xiàn)是解答該題的關(guān)鍵，是難題．