Question

15．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，PA=PD=4，BC=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：PA⊥CD；
（Ⅱ） 若M是棱PC的中點，求直線PB與平面BEM所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在點N，使二面角N-EB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$，若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PE⊥面ABCD，利用PA在面ABCD內(nèi)的射影是CD，CD⊥AD，即可證明：PA⊥CD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PB}$，平面BEM的一個法向量，利用向量的夾角公式求直線PB與平面BEM所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），求出平面NEB的一個法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角N-EB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵等腰△PAD中，E為AD的中點，∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥面ABCD，
又PA在面ABCD內(nèi)的射影是CD，CD⊥AD，
由三垂線定理知：CD⊥PA；…（4分）
（Ⅱ）以E為原點，分別以$\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EP}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由PE=4cos30°=2$\sqrt{3}$得P（0，0，2$\sqrt{3}$）
又∵C（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∴M（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
又$\overrightarrow{EB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0）
設(shè)平面BEM的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1則x=$\sqrt{3}$，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
又∵$\overrightarrow{PB}$=（0，2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線PB與平面BEM所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{2×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$； …（8分）
（3）假設(shè)在棱PC上存在點N，使二面角N-EB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
設(shè)$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{EN}$=（-2λ，2$\sqrt{3}$λ，2$\sqrt{3}$（1-λ）），
又$\overrightarrow{EB}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），設(shè)平面NEB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}b=0}\\{-2λa+2\sqrt{3}λb+2\sqrt{3}（1-λ）c=0}\end{array}\right.$，
令c=λ，a=$\sqrt{3}$（1-λ），
∴$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$（1-λ），0，λ），
又$\overrightarrow{m′}$=（0，0，1）為平面EBC的一個法向量，
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{m′}$＞=$\frac{|λ|}{\sqrt{3（1-λ）^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，解得λ=$\frac{1}{3}$（負(fù)值舍），
故存在點N為棱PC的靠近P的三分點符合條件．…（12分）

點評 本題主要考查線面垂直的判定，以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決二面角的常用方法．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．