Question

7．若對區(qū)間D上的任意x都有f₁（x）≤f（x）≤f₂（x）成立，則稱f（x）為f₁（x）到f₂（x）在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”，已知 f₁（x）=lnx+x²，f₂（x）=$\frac{1}{x}$+3x，若f（x）=x+a是f₁（x）到f₂（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的“任性函數(shù)”，則a的取值范圍是0$≤a≤2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 仔細(xì)閱讀題意得出lnx+x²≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x，分離參數(shù)得出不等式x²-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-x+lnx，m（x）=2x$+\frac{1}{x}$，g（x）_大值≤a≤m（x）_小值，利用不等式，函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：根據(jù)題意得出：∵任意x都有f₁（x）≤f（x）≤f₂（x）成立，
∴l(xiāng)nx+x²≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x，
即x²-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]
g（x）_大值≤a≤m（x）_小值
設(shè)g（x）=x²-x+lnx可以判斷在x∈[$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞增，
g（x）_大=1-1+ln1=0，
令m（x）=2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]
2x$+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號成立）
∴m（x）_小值=2$\sqrt{2}$，
故a的取值范圍是0$≤a≤2\sqrt{2}$
故答案為；0$≤a≤2\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查了新概念題目，轉(zhuǎn)化出不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解，屬于函數(shù)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．