Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-|x^3-2x^2+x|，x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若對于?t∈R，f（t）≤kt恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{e}$，1]．

Answer 1

分析 由x＜1時函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的圖象，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），求出切點和斜率，設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切于點（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＜1時，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=$\left\{\begin{array}{l}{{x（x-1）}^{2}，x＜0}\\{-{x（x-1）}^{2}，0≤x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)，
在（$\frac{1}{3}$，1）上是增函數(shù)；
畫出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；
作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點（m，lnm），
則由（lnx）′=$\frac{1}{x}$，得k=$\frac{1}{m}$，
即lnm=km，解得m=e，k=$\frac{1}{e}$；
設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）的圖象相切于點（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），則有k=1，
由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，
以及與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切時，直線恒在上方，即f（t）≤kt恒成立，
∴k的取值范圍是[$\frac{1}{e}$，1]．
故答案為：[$\frac{1}{e}$，1]．

點評 本題考查不等式恒成立以及分段函數(shù)的應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．