Question

15．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，使點(diǎn)C翻折到點(diǎn)C₁的位置，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點(diǎn)．
（I）求證：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）當(dāng)EM=$\sqrt{6}$時(shí)，求平面EFM與平面BDC₁所成的銳二面角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明AC₁?平面AOC₁，即可證明AC₁⊥BD；
（Ⅱ）根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系結(jié)合勾股定理證明△EMN是等腰直角三角形，即∠EMN是平面EFM與平面BDC₁所成的銳二面角的平面角，進(jìn)行求解即可．

解答 （1）取BD中點(diǎn)O，連接AO，C₁O，
由題知道：BD⊥AO，BD⊥C₁O，
因?yàn)锳O∩C₁O=O，
則BD⊥平面AOC₁，
由AC₁?平面AOC₁，
所以AC₁⊥BD
（2）由題，$AO={C_1}O=2\sqrt{3}$，
取BO中點(diǎn)N，則EN=MN=$\sqrt{3}$，
在三角形EMN中，∵EM=$\sqrt{6}$，
∴滿(mǎn)足EN²+MN²=EM²，
即△EMN是等腰直角三角形，則EN⊥MN，
則二面角A-BD-C₁是直二面角
則∠EMN是平面EFM與平面BDC₁所成的銳二面角的平面角，
∵△EMN是等腰直角三角形，
∴∠EMN=45°，
即平面EFM與平面BDC₁所成的銳二面角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)結(jié)合二面角平面角的定義找出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．