Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2+2sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（1-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的最值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．已知f（B）=2，b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算、二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的最值求出f（x）的最大值、最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡f（B）=2，由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由條件和正弦定理求出a、c的關(guān)系，由余弦定理列出方程求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，$f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2（1-{sin}^{2}x）+2\sqrt{3}sinxcosx$，…（2分）$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x=2×\frac{1+cos2x}{2}+\sqrt{3}sin2x=\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$
=$2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+1$…（4分）
當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
所以當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{6}$時，f（x）的最大值為3；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{π}{2}$時，f（x）的最小值為當(dāng)-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），$f（B）=2sin（2B+\frac{π}{6}）+1=2$，
則$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，…（6分）
由B∈（0，π）得，$2B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
所以$2B+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，解得$B=\frac{π}{3}$，…（8分）
∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，
又b=3，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
即9=b²=a²+4a²-2a×2a×$\frac{1}{2}$…（10分），
解得$a=\sqrt{3}，c=2\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)的最值，向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的余弦公式變形、兩角和的正弦公式，以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．